论数学之美——欧拉及其对著名的巴塞尔问题的精确解(推导)

被许多人认为是“自古以来最伟大的数学家”的德国数学家、天文学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯曾经说过:

研究欧拉的著作将仍然是不同数学领域的最佳流派,没有任何东西可以取代它——卡尔·弗里德里希·高斯

图1:卡尔·弗里德里希·高斯的肖像,被称为“自古以来最伟大的数学家”本文将描述瑞士数学家莱昂哈德·欧拉如何解决著名的巴塞尔问题。欧拉是历史上最伟大的数学家之一。他还是一个多产的数学家,他的作品集共92卷。皮埃尔西蒙·德·拉普拉斯评价欧拉对数学的影响,他有一句名言:

1650年,意大利数学家皮埃特罗蒙格利首次提出了巴塞尔问题,1734年,欧拉解决了这个问题,让他立即得到认可。这个问题要求自然数平方的倒数之和:

许多有影响力的数学家试图找到平方和的倒数之和的公式。微积分的两位共同发明人约翰·沃利斯和戈特弗里德·莱布尼茨都曾尝试过,但都以失败告终。欧拉在他还年轻的时候(28岁)就解决了这个问题,他的答案让数学界感到惊讶。他的第一个证明(后来他又提供了其他几个证明)绝不是严谨的,但它的美丽、简单和独创性是惊人的。

图4:归一化和非归一化sinc(x)函数(分别用蓝色和红色表示)为了理解这一点,考虑一下,例如,下面的四次多项式写成因式分解形式:

欧拉的策略是将同样的扩展应用到超越函数上。这类函数不满足多项式方程,如公式(4)。指数函数、三角函数和对数函数是三个著名的例子。

图5:指数函数(源)、对数函数(源)和三角函数(源)的绘图。sinc(πx)函数具有以下根:

欧拉继续将sinc(x)写成与等式3中的f(x)相同的形式。使用基本的数学恒等式

泰勒级数是函数的无穷项和的表示。每一项都是从函数在一个点处的导数值计算出来的。

图6:增加泰勒级数的次数,它收敛到正确的函数。黑色的曲线表示sin(x)其他的曲线所示的七泰勒级数有如下代数形式:

人们可以把公式. 8看作是一个无限次的“伪多项式”。这种伪多项式有无穷个根。方程5给出了根。比较两个结果

另外,欧拉的推导为我们提供了著名的沃利斯问题。把x = 1/2代入方程6,求它的倒数。我们得到:

最后,我们将看到如何获得欧拉结果的严格证明(该证明的作者是Daniel )。
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(通常是用另一种形式写的)。然后定义数字E(n)并计算它,对公式11第二次等式后的表达式进行积分:

很明显,对于偶数k,右边的和是0。因此,可以用(2k-1)代替k,只考虑E的子索引为奇数的项:

现在,为了完成证明,我们需要证明这个表达式消失了。由于这个演示非常费力,而且没有什么启发性,所以我们将省略它。其结果是: